黎曼空间(黎曼空间)

黎曼空间是什么

常曲率黎曼空间

Riemannian space of constant curvature截面曲率为常数的黎曼流形，它包括了欧氏空间、球面、双曲空间为其特例。在曲面论中,高斯曲率K为常数的曲面局部地为球面(K>0)，平面（K=0）或双曲平面(K<0)。在高维时高斯曲率的自然推广为截面曲率(见黎曼几何学)。如果黎曼流形M上任何点处的任何二维切平面，其相应的截面曲率均为常数K,则称此黎曼流形为常曲率黎曼空间。又称常曲率空间。由著名的舒尔定理知道,如果dim M≥3并且M上每处的截面曲率的数值与二维切平面的选取无关盯者，则截面曲率也必与点的选取无关，即它必为常曲率黎曼空间。局部地,常曲率K的n维黎曼流形的黎曼哪神曲率张量可表为此处gij为黎曼流形的度量张量,1≤i，j，k,l≤n。在适当的坐标系下它的黎曼度量为

局部地,它是n维球面(K>0)、欧氏空间(K=0)或双曲空间(K<0)。整体地说,单连通的完备常曲率空间只能是下列三种：球面李则亏、欧展现黎曼空间的埃舍尔画作《画廊》氏空间和双曲空间。如不单连通，则其通用覆盖流形必为上述三类之一。J.A.沃尔夫已完全解决了以球面为其通用覆盖的紧致的正常曲率空间的分类。

解释一下:欧氏空间和黎曼空间

01：

欧几里德

空间(Euclidean

Space)，简称为

欧氏空间

(也可以称为:平直空间)，在数学中是对欧几里德所研究的2维和3维空间的一般化。这个一般化把欧几里德对于距离、以及相关的概念长度和角度，转换成任意数维的坐标系。

这是有袜兆枝限维、实和

内积

空间的“标准”例子。

欧氏空间是一个特别的度量空间，它使得我们能够对其的拓扑性质，例如

紧性

加以调查。

内积空间

是对欧氏空间的一般化。内积空间和度量空间都在

泛函分析

中得到了探讨。

欧几里德空间

在对包含了

欧氏几何

和

非欧几何

的

流形

的定义上发挥了作用。一个定义距离函数的数学动机是为了定义空间中围绕点的

开球

。这一基本的概念正当化了在欧氏空间和其他流形之间的微分。

微分几何

把微分，会同导入机动性手法，局部欧氏空间，探讨了非欧氏流形的许多性质。

当一个

线性空间

定义了内积运算之后它就成为了欧几里德空间。

02：

黎曼

空间

常曲率黎曼空间

Riemannian

space

of

constant

curvature

截面曲率为常数的

黎曼流形

，它包括了欧氏空间、球面、双曲空间为其特例。在曲面论中,

高斯曲率

K为常数的曲面局部地为球面(K>0)，平面（K=0）或双曲平面(K<0)。在高维时高斯曲率的自然推广为截面曲率(见黎曼几何学)。如果黎曼流形M上任何点处的任何二维切平面，其相应的截面曲率均为常数K,则称此黎曼流形为常曲率黎曼空间。又称常曲率空间。由著名的舒尔定理知道,如果dim

M≥3并且M上每处的截面曲率的数值与二维切平面的选取无关，则截面曲率也必与点的选取无关，即它必为常曲率黎曼空间。局部地,常曲率K的n维黎曼流形的黎曼曲率张量可表为此处gij为黎曼流形的度量张量,1≤i，j，k,l≤n。在适当的坐标系下它的黎曼度量为

局部地,它是n维球面(K>0)、欧氏空间(K=0)或双曲空间(K<0)。整体地说,

单连通

的完备常曲率空间只能是下列三种：球面、欧氏空间和双曲空间。如不单连通，则其通用覆盖流形必为上述三类之一。J.A.

沃尔夫

已完全解决了以球面为其通用覆盖的紧致的正常曲率空间的分类。

人们对常曲率黎曼空间感兴趣的原因在于这类黎曼流形结构简单，具有最大的对称性（即容有最大参数的运动群）,直观地说,这类猜哗空间是均匀

各向同性

的。它也同时作为共形平坦空间、

爱因斯坦空间

、齐性黎曼流形或对称黎曼空间等特殊黎曼流形的一类重要的例子。把它作为模型研究清楚以后，通过与告敏这些标准的模型进行诸如曲率等

几何量

的比较，从而可得到对一般黎曼流形的一系列几何和拓扑的性质。

黎曼空间与欧几里德空间区别

1、性质不同

黎曼空间是一种矢量空间，它满足空间中存在度规张量；

欧氏空间是一个特别的度量空间，在包含了欧氏几何和非欧几何的流液拍运形的定义上发挥了作用。

2、三角形内角和不同

黎曼空间中，三角形的内角和大于180度，圆周率小于π；

欧几里德空间中，三角形的内角和等于180度，圆周率等于π。

扩展资料：

欧几里德空间，在数学中是对欧几里德所研究的2维和3维空闹梁间的一般化。

这个一般化把欧几里德对于距离、以及相关的概念长度和角度，转换成任意数维的坐标系。这是有限维、实和内积空间的“标贺告准”例子。

欧氏空间是一个特别的度量空间，它使得我们能够对其的拓扑性质，例如紧性加以调查。内积空间是对欧氏空间的一般化。

欧几里得空间、黎曼空间是什么

欧几里德空间

(Euclidean

Space)，简称为欧氏

空间

，在

数学

中是对欧几里德所研究的2维和3维空间的一般化。这个一般化把欧几里德对于

距离

、以及相关的

概念

长度

和

角度

，转换基哪成任意数维的坐标系。

这是有限维、实和内积空间的“标准”例子。

欧氏空间是一个的特别的

度量空间

，它使得我们能够对其的

拓扑

性质

，例如

紧性

加以调查。内积空间是对欧氏空间的一般化。内积空间和度量空间都在

泛函分析

中得到了探讨。

欧几里德空间在对包含了欧氏几何和

非欧几何

的

流形

的

定义

上发挥了作用。一个定义距离

函数

的数学动机是为了定义空间中围绕点的开球。这一基本的概念正当化了在欧氏空间和其他流形之间好陵的

微分

。

微分几何

把微分，会同导入

机动性

手法，

局部

欧氏空间，探讨了非欧氏流形的许多性搏袜码质。

黎曼空间

(Riemannian

space)

关于黎曼空间的内容到此结束，希望对大家有所帮助。