区间套定理(闭区间定理)

什么是区间套定理

什么是闭区间：数轴上任意两点和这两点间所有点组成的线段为一个闭区间。

闭区间套定理：有无穷个闭区间，第二个闭区间被包含在第一个区间内部，第三个被包含在第二个内部，以此类推（后一个线段枝歼会悄世被包含在前一个线段里面），这些区间的长度组成一个无穷数列，如果数列的极限趋近于0（即这些线段的长度最终会趋近于0），则这些区间的左端点最终会趋近于右端点，即左右端点收猛运冲敛于数轴上唯一一点，而且这个点是此这些区间的唯一公共点。（开区间同理）

怎样用区间套定理证数列的柯西准则

只需用闭区间套定理证明结论：Cauchy列是收敛的。

首先，Cauchy列必有界，设a<=an<=b。

将[a，b]均分为3份，分点旅宏为c=(2a+b)/3，d=(a+2b)/3。下面证明[a，c]和[d，b]中有一个区间最多含有数列中的有限多项。

若两个区间中都含有数列中的无穷多项，则对e=(b--a)/3>0，存在N，当m>n>N时，有|am--an|<e，在[a

c]中必有一项ak，k>N。

在[d，b]中必有一项al，l>N，则|ak--al|>=(b--a)/3。矛盾，因此两个区间中有一个最多含有有限多项。

将含有有限多项的一个去掉（若两个都是有限多项，则去掉左边的那个区间），剩下的区间记为[c1，db1]。然后再将[c1，d1]均分为三份，类似去掉一个，依次进行下去得到一个闭区间列，

1、[cn，dn]包含[c(n+1), c(n+1)]，且区间长度为(b--a)/3^n。

2、[cn, dn]的外面含有数列{an}中的有限多项。

由定理，存在cn和dn的共同的极限值x，位于所有的闭区间中。下面证明x是{an}的极限。

对任意的e>0，存在K，使得ck<=x<=dk，当k>=K时，

注意到第二个性质，[cK，dK]外有{an}的有限多项，记最大指标为N，即n>N时，有an位于[cK,

dK]中，于是|an--x|<=dK--cK<e。由定义，{an}收敛于x。证毕。

扩展资料

函数的柯西收敛准则性质

1、充分性：由于函数极限和数列极限可以汪此通过归结原则联系起来，所以要证明函数收敛，可以转化为证明数列收敛。而数列收敛的柯西准则已经证明了，所以把已知条件转化为求数列极限是证明的重心。

2、归结原则（或称海涅定理）：设f(x)在x0的某个去心邻域（或|x|大于某个正数时）有定义，那么充要条件是，对在x0的某个去心邻域内的任意收敛于x0并且满足困镇迅xn≠x0的数列{xn}（或绝对值大于某个正数的任意发散到无穷大的数列{xn}），都有数列{f(xn)}收敛到A。

参考资料来源：百度百科—柯西极限存在准则

参考资料来源：百度百科—区间套定理

区间套定理的内容是什么

先定义什么是区槐码历间套：

设闭区间列{ [an, bn]}具有如下性质：铅搜

① [an, bn]包含[an+1,bn+1 ], n=1,2,...;(其中的意思是[an+1,bn+1 ]是[an, bn]的子集)

② lim(bn-an)=0(n→∞)，

则称{ [an, bn]}为闭区间套，或简称区间套。模罩

下面是区间套定理：

若{ [an, bn]}是一个区间套，则在实数R中存在唯一的点ξ，使得ξ∈[an, bn]，n=1,2,...,即 an≤ξ≤bn, n=1,2,...

注：这个定理实际上表明了实数的完备性，实数是连续地充满整个数直线而没有间隙，而有理数就不具备这个性质。

柯西收敛定理→闭区间套定理

我提供一下我的想法，你参考一下：

先把序列构造出来：{Xn},X2k-1=ak,X2k=bk,[ak,bk]组成一个区间套，满足lim|In|=0

显然这个数列是一个柯西列

∴有极限c,

现在要证明c∈[an,bn],对任意n

只需证明:an<c<bm,对任意m,n

先证明：an<bm,

由反证法，若否：bn>an>bm>am

这两个区间不可能有一个包含另一没改个，矛盾

再证明，c<bn,对任意n

也是用反证法:

若否，则，存在bm<c

取ε=(c-bm)/2

那么，对任意N,总有信码2k-1>N,这时X2k-1=ak<bm<c-ε

∴|X2k-1-c|=c-X2k-1>ε

也就是说，不存在这样的N使，n>N时，|Xn-c|<ε恒成立

这样就证明了，c<bn,对任意n

同理，an<c,对任意n成立

∴an<c<枯坦判bn

∴c∈[an,bn]

关于区间套定理，闭区间定理的介绍到此结束，希望对大家有所帮助。